自古以来，“无穷”就是一头诱惑而危险的野兽。在世俗与文明的束缚下，每每有哲人高士寄心于超越一切界限的存在，达到逍遥与自由的境界。但人类若是妄图解开恒河沙数、星汉无极的奥秘，除了终极的敬畏之外，更会时时感受到心智的局限。2000多年前的芝诺悖论就是这种境况的突出表现。

于是，千百年来的人们选择将“无穷”放逐，安放到一个不会干扰到日常生活与心灵安宁的匣子里，直到17世纪微积分的诞生迫使人们认真应对这头出笼的猛兽。人类努力追寻与驯服“无穷”，使其由虚向实的千年历程堪称一场惊心动魄的思想奥德赛。

夸父问题

你是夸父，你的祖母是掌管幽冥的后土娘娘，你的曾祖父是怒触不周山的共工，你的高祖是华夏始祖、尝尽百草的炎帝。你身形伟岸，天下没有人能跑得过你。于是，你抓起象征祖先血脉的青黄二蛇，要与天上的太阳比一比。你越跑越渴，把黄河、渭水、大泽的水都喝光了也追不上太阳。最后，你连扶杖支撑的力气都没有了，活活累死。你倒下的地方成了一片桃林，号为邓林，据说在今天河南省西南部的邓州市，是全省的农业第一大县。

战国时代的道家列御寇记载了“夸父逐日”的故事，并用“不自量”来形容骄傲的夸父。按照通常的解读，夸父高估了自己的能力，竟妄图征服大自然。换句话说，夸父就是东方的伊卡洛斯（Icarus）。伊卡洛斯是古希腊神话中的人物，他为了逃脱克里特岛上的迷宫，就和父亲一起用羽毛和蜡制作了一副翅膀。试飞期间，伊卡洛斯不听父亲的劝告，飞得太高，结果蜡被太阳晒化，伊卡洛斯一头摔进了海里。这两个故事的主题都是傲慢，而傲慢就是试图跨越不能跨越的界限。

《穿过一条街道的方法》

不过，夸父和伊卡洛斯的故事有一个显著的不同之处。伊卡洛斯触犯的是有限之限，或者说是一个工程技术问题。如果他们父子俩能开发出一种耐高温的粘合剂，那么伊卡洛斯也就不会陨落了。世上的事故大多属于这种情况，解决办法是遵循安全规程与持续改进技术。干烧的水壶是如此，切尔诺贝利灾难也是如此。但是，夸父妄图跨越有限与无穷。

人在空间中处处能感受到有限，物体都是有边界的，有限定的尺寸。这就是说，“有限”是一种直观经验，不需要抽象思维就能达到，是我们的安全区。“无穷”则并非如此，它似乎只能从“有限”反推出来。对于已经掌握了抽象思维能力的人来说，这一步本身是轻而易举的。既然有边界就是“有限”，那么没有边界自然就是“无穷”了。

事实上，先秦典籍《墨经》中正是这样定义无穷的：或（通“域”）不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也。想象你用一把尺子在量一片地方的长度，一段一段量过去，如果最后尺子卡到了边缘，比如一堵墙，那么这片地方的长度就是有穷；如果你再怎么量，最后总也达不到尽头，那便是无穷了。

地球是一个椭球体，夸父跑得再快，也只不过是回到原点的时间缩短了一些，他与太阳的距离从来不曾接近分毫。套用《墨经》里的定义，我们在夸父的脚上粘一把尺子，无论他朝太阳的方向跑多远，尺子永远不会触碰到尽头。换言之，夸父之所以不自量，不是因为他速度不够快或耐力不够强，而是因为他企图用有限去达到无穷。夸父不经意间触碰了一个哲学问题。

“无穷”意味着未知乃至不可知。哪怕是再严酷的限制，人也总能想办法去适应，就算结果是失败，也算死得明白。刘慈欣科幻小说《三体》中的三体人就是如此，他们不仅通过脱水休眠、心灵感应等方式去适应三日同耀的环境，还发展出了高度的文明。然而，如果预先知道努力的尽头是无穷，就算子子孙孙无穷匮也，就算有天神相助，最后也不会有丝毫结果，那么愚公怕是也不会去移山了吧。

“无穷”是可怕的，哪怕是对于擅长抽象思维的古希腊人。美国作家大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace，以下简称“华莱士”）在《穿过一条街道的方法：无穷大简史》中写道，“亚里士多德说过一句权威性的话——这句话也是其他权威的话的源泉：‘无限的本质就是缺失，不是完美而是有限的缺失。’……无限意味着无形，无形意味着混沌、丑陋、混乱。”

身处世俗枷锁之中，遐想摆脱一切束缚与界限的逍遥境界是好的，真正落入永恒轮回之中却是众生苦难的根源。跳出六界外，是古人修行的至高追求；摆脱不断重复的梦魇，也是《恐怖游轮》等许多当代恐怖作品的核心情节推动力。

只要试图去探究无穷，一系列悖论就会立即跳出来，比如大名鼎鼎的芝诺悖论。芝诺（Zeno）出生于意大利西南部的希腊人聚居地埃利亚（Elea）。为了辩护同乡兼老师巴门尼德（Parmenides）的学说，芝诺提出了二分悖论、飞矢不动、阿喀琉斯追不上乌龟等悖论。这些悖论无一例外都与“无穷”有关，或者说根源在于对无穷的理解。

亚里士多德在《物理学》一书中记载了芝诺悖论并给出了反驳，试图廓清“无穷”的底层疑难，但正如华莱士所说：“亚里士多德的讨论最终对之后2000年里人们在数学上处理∞（无穷的符号）的方式产生了非常有害的影响。”这倒也不能全怪到亚里士多德的头上，因为在很大程度上，他只是用一种清晰缜密的方式阐述了常人对于“无穷”的本能看法。人类真正在“无穷”概念上取得突破性进展要等到19世纪了。

不可说不可说转

在介绍亚里士多德解决无穷悖论的方案之前，我要首先讲一讲另一种试图“驯服”无穷的手段，那就是试图用极大的有限概念来比拟无穷。

庄子《逍遥游》中说：“北冥有鱼，其名为鲲。鲲之大，不知其几千里也……鹏之徙于南冥也，水击三千里，抟扶摇而上者九万里。”此处的“几千里”、“三千里”、“九万里”都不是实数，而都应看作“不知”二字的形容词。

庄子想说的不是他不知道，或不确定某个可度量的事实。庄子不会问，读者也不会问大鹏南飞去的是海南岛，还是爪哇岛，它拍打翅膀激起的水浪是三千里长，还是五千里长呢？庄子要讲的道理是，即使是鲲鹏这样的巨物，也终归有所凭借，并非真正的无所限。

美国作家大卫·福斯特·华莱士（David Foster Wallace，1962年2月21日-2008年9月12日）。

反过来看，这就意味着他使用庞大数目，是为了描绘出一种无限的意象。诺贝尔奖物理学奖得主李政道做了一番披着现代外衣的类似解读：“当时的几千里，对我们现在来说就是近于无限大。庄子的鹏，可以代表了整个宇宙；鹏之飞象征了整个宇宙的开始，也代表大爆炸。”

传自印度的《华严经》，用一种更齐整的方式表达了同样的意识。为了讲解佛经讲道中“无量、无边、无等、不可数、不可称、不可思、不可量、不可说、不可说不可说”的含义，佛介绍了一整套令人叹为观止的数字系统：“一百洛叉为一俱胝，俱胝俱胝为一阿庾多，阿庾多阿庾多为一那由他……不可量不可量为一不可量转，不可量转不可量转为一不可说，不可说不可说为一不可说转，不可说转不可说转为一不可说不可说，此又不可说不可说为一不可说不可说转。”

乍看上去或许晕头转向，但用科学计数法来表示就简单了，比如倶胝是107，阿庾多等于倶胝的平方，也就是1014，以此类推。但即便是名单末尾的“不可说不可说转”（〖=10〗^(7×2^122 )）也远远达不到无限。这个名单只能看作一种临时性的教学工具，是通过绵延不绝的语流来呈现无限的意味。

佛利用了人本身的一种心理倾向，那就是一个数如果达到了一定程度，人就会失去处理它的能力，而把它当作某种不可捉摸的神秘之物，甚至将它等同于人所能理解的最大的数，就像小孩子会觉得大于10的数字都和10一样大。因此，用科学计数法来“翻译”这些无量大数本质上是错误的，这段话应当整体翻译为“无穷”二字。

《逍遥游》和《华严经》都代表着一种对“无穷”敬而远之的态度，用类比的方式为“无穷”施加某种秩序，哪怕只是一种人类无法干涉，无法操纵，甚至不容细思的消极秩序。芝诺错就错在这里，尤其是他的“二分悖论”。

《穿过一条街道的方法》的书名正来源于此：“你站在一个街角，当信号灯变色的时候，你试图穿过街道……在你用尽所有办法穿过整条街道之前，你显然不得不经过街道的一半。而在你经过一半之前，你又不得不经过一半的一半……这个序列没有尽头，永远进行下去。”

你不能在有限的时间里穿过无穷多个间隔，所以你永远不能穿过街道。对于学过微积分的人来说，二分悖论只是一道再简单不过的应用题，是求几何级数1/2+1/4+1/8+⋯之和。根据几何级数的求和公式，答案等于1。

可惜古人还不懂得微积分，否则柏拉图、亚里士多德、托马斯·阿奎那（Thomas Aquinas）这些先贤就可以省下许多脑细胞了。但正如华莱士所说，这是一种“鸡肋”、“贫乏”的解答方式，就像用“因为杀人违法”来回答“为什么杀人是错的”一样。

亚里士多德的回应尽管远远没有解决悖论，但至少比炫耀求和公式的现代大一学生用心一些。

从微积分到超穷数

亚里士多德区分了两种“无穷”，一种是无穷大的长度、时间等，比如宇宙浩瀚无穷，这种无穷是真实存在的；而芝诺所说的无穷，在现实中是永远不可能完成的，因此是“潜在”的。讲得更明白些，亚里士多德认为芝诺的无穷就是虚无，根本“不是东西”。

亚里士多德不是一个人，同时代的希腊哲学家与数学家基本都是类似的态度，把那种会惹麻烦的“潜在无穷”当作一个诡异的理论概念。既然日常生活中用不到，就连数学计算与推理中都不必用到，那又何必与这个怪物较劲呢？

一千多年就这样过去了。与其说是亚里士多德束缚了世人的观念，不如说是那时的数学还没有发展到不得不运用“无穷”的程度。当然，这两者难免有鸡生蛋，蛋生鸡之惑。但无论如何，在17世纪牛顿与莱布尼茨发明微积分之前，亚里士多德的“潜在论”一直占据着主导地位，“无穷”被放逐到了神秘与宗教的领域之中。

微积分并不是凭空蹦出来的，之前几个世纪的数学家已经提出了多种指向微积分的解题方法，并运用于包括弹道学、天文学、光学、力学在内的诸多现实领域。从后来的视角看，这些问题都属于微积分的范畴，只是正如华莱士所说 “埋头解决它们的数学家不知道这点”。他们扎实地推进了数学的发展，但概念框架还没来得及更新。

伽利略就是一个典型的例子。在解释一个具体问题时，他已经在给不同的“无穷小量”比大小了。换句话说，这里的“无穷小量”与整数同样实在。但在讨论芝诺悖论时，他又将其归因于人类的傲慢，妄图用有限的心智去窥探无穷的奥秘。

事实上，潜在论的市场或许直到今天都未曾断绝，也永远不会断绝。伟大的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）有言：“无穷大在现实中是找不到的，不管是求助于经验、观察还是认识……简而言之，思维能脱离现实如此之远吗？”须知，希尔伯特曾热烈支持数学家康托尔（Georg Cantor）的超穷数（又称“超限数”），而超穷数正是康托尔对古老而神秘的“无穷”概念的正面突破，也是现代数学在抽象程度上达到的一座巅峰。

回到17世纪的牛顿与莱布尼茨，他们发明的微积分用一种普遍性的方法，涵盖了前辈数学家们分别得出的特定方法。但是，微积分运算中无处不在的“无穷小量”也唤醒了封印在亚里士多德潜在论中的幽灵。芝诺带着他的悖论回来了，只不过这一次造成的破坏力要大得多。

无穷小量一会儿能当作0直接消掉，一会儿又能用作不能为0的分母。那么，无穷小量到底是不是0呢？从这个疑难出发，一系列其他微积分的基础概念引发了质疑和讨论，史称“第二次数学危机”。当然，在一段时间里，大部分数学家都可以不去思考“无穷小量”的本质，这个哲学问题并未阻碍一个个新的进步与突破。

直到19世纪，随着近代数学发展到了相当精微的程度，彻底厘清“无穷小量”才成为了一个紧迫的现实使命。华莱士在《穿过一条街道的方法》中详细追溯了这段引人入胜的旅程。若要真正体会到无穷之美与人类驯服无穷之艰辛，花时间来好好啃这本书是值得的。尽管阅读过程中不免要接触大量数学公式，更要勉力跟随作者的行文思路，但华莱士贴心准备了必要的概念说明（“应急词汇表”），也尽可能把关键要点和背后的根本观念一一点明，因此对有志读者来说不失为一条捷径。